非線形梁要素のモデル化（材端集中・ファイバー・MS）

非線形解析（プッシュオーバー・時刻歴応答）では、線形の弾性ティモシェンコ梁（ティモシェンコ梁要素（12×12））に代えて、部材の弾塑性挙動を表す 3 種類の梁要素モデルを用います。材端集中ばねモデルは弾性ティモシェンコ梁を土台とし、ファイバー・MS モデルは Timoshenko 適合内挿（φ 依存形状関数、ファイバーモデル）によりせん断変形を曲げと直列に合成します（初期弾性状態では軸成分を含めて弾性ティモシェンコ梁と一致します）。

材端集中ばねモデル

弾性ティモシェンコ梁の両端に**回転ばね（M–θ 履歴則、部材履歴則の設定と集中ばね履歴則）**を直列接続し、塑性化を材端の集中回転に代表させます（構造動力学で標準的な集中ばね（one-component / two-component）モデル）。

算定式

• 回転ばねは強軸曲げ面（要素局所系の \( r_z \) まわり。要素局所 y 軸＝断面のせい方向とする規約による）に入れます。一軸曲げ（ForceRegime::UniaxialBendingShear）のモデルであり、骨格の降伏モーメント（強軸 \( Z_p \sigma_y \)）・初期剛性 \( 6EI/l \)（\( I \) は強軸）も強軸で与えます。
• 要素剛性は、可撓長（部材長から剛域を除いた長さ）で組んだ弾性ティモシェンコ梁に、端部条件（ピン・半剛）と材端回転ばねを直列に静縮約し、最後に剛域変換で節点自由度へ移して得ます（弾性梁 ティモシェンコ梁要素（12×12） と同じ土台）。ばねは直列のため接合部ばねと塑性ばねの順序は結果に影響しません。
• ばねの変形量は相対回転 \( \gamma_k = \theta_{n,k} - \theta_{b,k} \)（節点回転 − 可撓端回転）とし、履歴則 \( M_s(\gamma) \) を適用します。可撓端回転 \( \theta_b \) は内部自由度として保持し、各トライアルで両端の内部釣合い

\[ R_k = \bigl[K_{\text{flex}}\,\hat{\boldsymbol u}\bigr]_{d_k} - M_{s,k}(\gamma_k) = 0 \]

（\( d_k \) は材端回転自由度の番号、\( \hat{\boldsymbol u} \) は回転スロットを \( \theta_b \) で置き換えた可撓端変位）を要素内 Newton 反復（2 自由度連成）で解きます。履歴則は区分線形のため通常数回で収束します。固定端（節点回転 0）でも可撓部端モーメントが降伏モーメントへ達すればばねが塑性回転し、柱脚ヒンジが形成されます。

• 復元力は弾性可撓部の \( K_{\text{flex}}\,\hat{\boldsymbol u} \) とばねの履歴モーメント \( M_s(\gamma) \) から経路整合に評価します（節点の回転自由度にはばねを介してモーメントが伝わるため、回転スロットはばね側の履歴力で置き換えます。内部釣合いの解では両者は一致します）。接線剛性はばねの接線 \( k_t(\gamma) \) を直列に静縮約した \( K^{*} \) を用います。
• 履歴則は部材個別指定（履歴則の設定（増分用・時刻歴用）の 2 系統）→ 構造種別ごとの既定表で解決します。RC/SRC/CFT 梁は武田型トリリニア、S 梁は**標準型（kinematic バイリニア）**を材端ばねに用います（増分・時刻歴共通の既定）。
• 軸-曲げ相互作用（N–M 相関）は、現在軸力 \( N \) に応じて回転ばねの降伏モーメントを

\[ M_{\text{lim}} = M_{y0} \cdot \left(1 - \frac{|N|}{N_{\text{allow}}}\right) \]

で更新します（下限 \( 0.02 \cdot M_{y0} \)）。この相関は降伏モーメントを更新できる材料（標準型・辻・山田型・座屈考慮型）に適用し、武田型等の骨格固定の履歴材料は対象外とします。

• 材端ばねの骨格（トリリニア）の既定値は次のとおりです。終局点は \( M_u = 1.1 \cdot M_y \)、終局回転角は降伏回転角の 4 倍（塑性率 4）とします。ひび割れ点は RC 系が \( M_c = 0.56 \cdot \sqrt{F_c} \cdot Z_e \)（梁（曲げ・せん断・軸）。\( M_y \) の 10〜90% にクランプし、折れ点の逆転を防ぎます）、それ以外は \( M_y/3 \) とします。降伏時剛性低下率 \( \alpha_y \) は RC 矩形梁（水平材）を菅野式、それ以外を 0.3 とします。スラブ協力付きRC梁の材端集中ばねは、方向別T形鉄筋比に必要な情報を設定できないため入力診断で停止します（鉄筋比の分母・単位と引張方向）。武田型の除荷剛性低下指数は 0.4 とします。
• 辻・山田型を指定した材端ばねは、二次勾配 \( K_2 = 0.01 \cdot k_{rot} \)・混合硬化比 \( \beta = 0.5 \) のバイリニア＋混合硬化とし、N–M 相関を適用します。座屈考慮型を指定した材端ばねは終局点を \( M_u = 1.1 \cdot M_y \) とし、N–M 相関を適用します。標準型・降伏モーメント不定の材端ばねは kinematic バイリニア（降伏後剛性比 0.01）とし、N–M 相関を適用します。

記号・単位

ファイバーモデル

積分点（ガウス点）の断面を多数のファイバーに分割し、平面保持仮定のもとで各ファイバーが独立した履歴状態を持つ一軸材料として応答することで（構造力学のファイバーモデル）、軸力と曲げの連成（N–M 相関）を断面積分から自然に得ます。断面応答（M–φ 積分）の詳細は ファイバー断面（M–φ 積分）を参照してください。

算定式

• 非線形解析で構築するファイバー要素は塑性化域考慮モデルとし、「全可撓長の弾性梁 \( K_{el} \) ＋ 端部の塑性増分ヒンジ」の直列モデルとして解きます。曲げ・せん断の基準長は可撓長 \( L' \)（剛域があれば節点間長から剛域長を除いた長さ）、軸・ねじりの弾性剛性の基準長は節点間長です（非線形梁要素の剛域）。塑性化域長 \( L_p \) は部材の指定値、未指定なら断面せいの 0.5 倍（マルチスプリング（MS）モデルと共通の既定。断面せいが取れない場合は 200 mm を仮定）とし、可撓長の 45% までにクランプします。したがって塑性化を担うファイバー断面は可撓部両端の 2 断面（\( \xi = \mp 1 \)、すなわち可撓部の材端＝剛域があればその剛域フェイス。非線形梁要素の剛域）であり、その断面の状態のみを追跡します。
• 弾性梁 \( K_{el} \): \( B(\xi)^{\mathsf T}\,\mathrm{diag}(EA, EI_y, EI_z)\,B(\xi) \) を可撓長で 2 点ガウス（\( \xi = \mp 1/\sqrt{3} \)）積分し、一定せん断ひずみ場（後述）と Saint-Venant ねじり剛性を加算して組み立てます（\( EA, EI_y, EI_z \) は公称断面諸元）。軸・ねじりの弾性剛性は節点間長 \( L \) を用いる \( EA/L,\ GJ/L \) とします（非線形梁要素の剛域）。初期弾性状態（端部の追加変形がゼロ）の要素剛性はこの \( K_{el} \) に厳密一致し、弾性ティモシェンコ梁（ティモシェンコ梁要素（12×12））の剛性と一致します。
• 軸・二軸曲げの塑性増分: 各端の断面ひずみを \( \boldsymbol\eta_e=(\varepsilon_e,\kappa_{y,e},\kappa_{z,e})^{\mathsf T} \)、断面力を \( \boldsymbol q_e=(N_e,M_{y,e},M_{z,e})^{\mathsf T} \) とします（\( e=i,j \)）。ファイバーのひずみは \( \varepsilon_f=\varepsilon_e+z_f\kappa_{y,e}-y_f\kappa_{z,e} \) で、断面力と接線は同じ材料履歴から積分します。軸ひずみと二軸の曲率を両端で合わせた 6 未知数を同時に解き、軸降伏と N–M 連成を部材の力・変形へ反映します。
• 各端の初期断面剛性を \( D_{0,e} \)、そのコンプライアンスを \( C_{0,e}=D_{0,e}^{-1} \) とし、初期状態の完全な 3×3 行列を履歴中も固定します。端部の追加変形は

\[ \boldsymbol p_e=L_p\left(\boldsymbol\eta_e-C_{0,e}\boldsymbol q_e\right) \]

です。軸ひずみは無次元、曲率は [1/mm]、軸力は引張を正として [N]、曲げモーメントは [N·mm] で表します。\( \boldsymbol p_e \) の第 1 成分は追加伸縮 [mm]、第 2・3 成分は追加回転 [rad] です。軸・曲げの連成項を含めて初期弾性分を控除するため、初期弾性域では \( \boldsymbol p_e=\boldsymbol0 \) となり、全可撓長の弾性梁の変形を二重計上しません。除荷・再載荷では材料履歴に応じて追加伸縮・回転が変化し、残留伸縮も保持します。

• 両端の量を \( \boldsymbol\eta=(\boldsymbol\eta_i;\boldsymbol\eta_j) \)、\( \boldsymbol q=(\boldsymbol q_i;\boldsymbol q_j) \)、\( \boldsymbol p=(\boldsymbol p_i;\boldsymbol p_j) \) と並べます。\( A \) は端部の追加変形を可撓端の局所 12 自由度へ写す行列で、次の符号を持ち、その他の成分はゼロです。局所 x 軸は i 端から j 端へ向かい、断面の y・z 軸は両端で共通とします。

局所軸は右手系とし、断面の曲率は物理的な断面回転の材軸方向微分 \( \kappa_y=d\theta_y/dx,\ \kappa_z=d\theta_z/dx \) です。共通の y・z 軸で表す断面力と可撓端の節点復元力の対応は、境界仕事 \( [N,\delta u_x+M_y,\delta\theta_y+M_z,\delta\theta_z]_i^j \) から \( \boldsymbol q_i=-\boldsymbol f_i^{(N,M_y,M_z)},\ \boldsymbol q_j=+\boldsymbol f_j^{(N,M_y,M_z)} \) となります。したがって、上表の三成分の符号は i 端でいずれも負、j 端でいずれも正です。断面の実座標に対する \( \varepsilon_f=\varepsilon+z_f\kappa_y-y_f\kappa_z \) と引張・圧縮側の対応も、この共通軸で評価します。

可撓端変位を \( \boldsymbol u \)、弾性梁の変位を \( \hat{\boldsymbol u} \) として、釣合いは

\[ \hat{\boldsymbol u}=\boldsymbol u-A\boldsymbol p,\qquad \boldsymbol f=K_{el}\hat{\boldsymbol u},\qquad \boldsymbol R=\boldsymbol q-A^{\mathsf T}\boldsymbol f=\boldsymbol0 \]

です。写像 \( A \) と \( A^{\mathsf T} \) は仕事共役であり、\( \boldsymbol f^{\mathsf T}A,d\boldsymbol p=\boldsymbol q^{\mathsf T}d\boldsymbol p \) を満たします。各試行状態でこの釣合いを解き、収束した同じ状態の \( \boldsymbol f \) を部材復元力とします。軸力を両端断面力の平均や弾性式へ置換せず、接線剛性と全変位の積も復元力の代用には用いません。

整合接線と履歴

両端断面の接線 \( D_e=\partial\boldsymbol q_e/\partial\boldsymbol\eta_e \) を対角ブロックに並べた行列を \( D \)、同様に \( C_{0,e} \) を並べた行列を \( C_0 \) とします。同じ試行状態で

\[ P=\frac{\partial\boldsymbol p}{\partial\boldsymbol\eta}=L_p(I-C_0D),\qquad J_{\eta}=D+A^{\mathsf T}K_{el}AP \]

\[ J_{\eta},\frac{\partial\boldsymbol\eta}{\partial\boldsymbol u}=A^{\mathsf T}K_{el},\qquad K_{tan}=K_{el}-K_{el}AP,\frac{\partial\boldsymbol\eta}{\partial\boldsymbol u} \]

とします（\( I \) は 6×6 単位行列、\( J_{\eta} \) は局所釣合いのヤコビアン）。この式を線形求解して、内力の厳密な微分を得ます。全連成項を保持し、接線を対称平均しません。材料の折れ点等では左右の接線を区別します。初期断面剛性や局所釣合いの特異、非有限値、不収束は計算失敗として扱い、微小剛性の付加・正則化・弾性への置換で隠しません。

初期断面剛性の求解では、軸力と二軸曲げの単位・寸法尺度の差を対角成分の平方根で無次元化して扱います。寸法や剛性に数値的な下限を付加しません。局所釣合いの残差と、断面力・要求力・各寄与の絶対和を同じ対角尺度で無次元化し、6成分の最大値に対して相対評価します。許容値は \(10^{-10}\) とし、全寄与が厳密にゼロなら絶対残差を評価します。初期断面が解けない場合は、解析開始前に対象部材と理由を示して停止します。

元端部のピン・半剛接で解放する回転成分は、外側の端部接続が必要とする精度も満たすように内側の材料釣合いを判定します。その成分の断面力・要求力・相殺前の各寄与・荷重の最大値と 1 N·mm の大きい方を尺度とし、上記の共通尺度との小さい方に対して同じ許容値を適用します。軸力が大きい場合にも回転成分の精度を保ち、除荷後に軸力がゼロとなる状態で内側の早期収束が外側の反復を妨げることを防ぎます。外側の許容値・反復上限や材料則は変更しません。

局所密行列の求解は、各右辺ごとに無限大ノルムの後退誤差

\[ \frac{\lVert A x-b\rVert_\infty}{\lVert A\rVert_\infty\lVert x\rVert_\infty+\lVert b\rVert_\infty} \]

を検査し、許容値を \(256n\varepsilon_{\mathrm{mach}}\) とします（\(n\) は局所行列の次数）。分母が厳密にゼロなら残差の絶対値を検査します。これは丸め誤差の検査であり、構造安全性や任意の寸法での解析可能性を保証するものではありません。

各試行状態と局所反復は同じ確定済み材料履歴を基準とし、局所収束だけでは履歴を確定しません。準静的増分解析で全体が未収束の試行を破棄するときは、材料履歴と断面ひずみ、弾性梁の変位、内力・接線を一体で確定状態へ戻します。時刻歴のステップ確定の扱いは非線形時刻歴に従います。

仕事の関係

弾性梁のひずみエネルギーを \( U_{el}=\hat{\boldsymbol u}^{\mathsf T}K_{el}\hat{\boldsymbol u}/2 \)、端部の初期弾性相当エネルギーを \( U_{0,e}=L_p\boldsymbol q_e^{\mathsf T}C_{0,e}\boldsymbol q_e/2 \) とすると、釣合いを満たす経路での内力仕事は

\[ \int\boldsymbol f^{\mathsf T},d\boldsymbol u=\Delta U_{el}+\sum_{e=i,j}L_p\int\boldsymbol q_e^{\mathsf T},d\boldsymbol\eta_e-\sum_{e=i,j}\Delta U_{0,e} \]

です。断面材料の仕事に全可撓長の弾性エネルギー変化を加え、端部で重複する初期弾性相当分を控除します。断面仕事は軸と二軸曲げの全成分を含み、回復可能なエネルギーと材料の履歴消費を合わせた量です。

剛接・ピン・半剛は断面材料とは別の接続条件として 非線形梁要素の材端条件（ピン・半剛） に従って扱います。ピン・半剛を理由に端部断面全体や軸塑性を無効にしません。接続のために材料の断面軸を回転させることもありません。

モデルの範囲

ここまでの釣合い式・仕事式は部材荷重がない場合の式です。壁側柱の部材荷重を含む局所釣合いは、側柱の回転解放と適用範囲に従います。

完全塑性等では、外部力の平衡解が存在しても、両端への塑性変形の内部配分が非一意となる場合があります。外部軸力が一意であることは内部状態の一意性を意味しません。局所ヤコビアンが特異となり採用した局所解法の条件を満たせない場合は、理由を示して停止します。完全塑性の部材を一律に適用外とはせず、微小剛性・正則化・弾性への置換で非一意性を隠しません。

この端部塑性化域モデルは、部材全長への塑性化の分布を表すものではありません。壁側柱は側柱の回転解放と適用範囲に従います。単一平面・準静的の材料履歴を保持した接続と、壁全体系の検証は区別します。壁側柱のP–Δ指定・非線形時刻歴・非平行共有柱は理由付き適用外です。部材整合質量を使う固有値・線形時刻歴では、実際の初期弾性接続から質量を構成できることも必要です。実験等に対する物理的妥当性は別途確認を要します。上記の釣合い式と接線式だけから、それらの検証完了を意味するものではありません。

• 塑性化域を設けない全長ファイバー積分モデル（2 点ガウス積分、\( \xi = \mp 1/\sqrt{3} \)、重み 1）も要素として構築できますが、非線形解析の要素生成では用いません。
• ファイバーは断面形状どおりの領域に配置します（MN 相関曲面と同じ配置規則を共用）。H 形はフランジ＋ウェブ、角形鋼管・鋼管は管壁のみ、CFT は管壁＋充填コンクリート、RC 円形は円形領域、SRC はコンクリート＋主筋＋内蔵鉄骨に配置するため、中空・薄肉断面の断面積・剛性・耐力が正しく表現されます。非対称断面（山形・溝形・T 形等）は断面積重心へ座標補正します。
• RC 断面はコンクリートファイバー格子に加え、主筋を点ファイバー（Menegotto–Pinto 鋼材）として分離配置します。主筋点の縁からの距離・多段間隔は断面検定の有効せいと同じ rc_rebar_geom 規約です（ファイバー断面）。コンクリートは Fc≤60 では材料から解決した E を初期接線へ反映した NewRC、\( f_c > 60 \) では NewRC 固有 Ec の暫定外挿として扱います。鋼材領域（形鋼・鋼管・内蔵鉄骨）・主筋はいずれも Menegotto–Pinto モデル（降伏後剛性比 \( b = 0.01 \)）です。

ファイバー材料の既定値と強度の解決順

ファイバー断面の各領域には、次の既定の構成則・パラメータを割り当てます。 強度は表の解決順で決め、解決できないモデルは非線形解析の入力チェックが解析前に エラーで停止します（弾性で代替しません。ファイバー断面は降伏・ひび割れの進展を 追うことが目的のため、弾性代替は耐力の過大評価＝危険側になります）。

• コンクリートの初期接線は、Fc≤60 では材料から解決した E、Fc>60 では NewRC 固有 Ec の暫定外挿を用います。
• 引張強度は両コンクリート構成則とも既定 \( f_t = 2.0 \) N/mm² とします。
• コンクリートの除荷則は部材ごとに増分用・時刻歴用を選択できます（履歴則の設定（増分用・時刻歴用））。柱等のファイバー要素・MS 要素の自動（未指定）の既定は、増分解析=逆行型、時刻歴応答解析=Karsan–Jirsa 型です。壁柱ファイバーの自動既定は、増分解析=原点指向型、時刻歴応答解析=Karsan–Jirsa 型です。いずれも部材ごとに指定できます。 Fc≤60 は材料から解決した E を初期接線へ反映し、Fc>60 は NewRC 固有 Ec を用いて外挿します。逆行型・原点指向型は ConcreteNewRc、Karsan–Jirsa 型は ConcreteCyclic::newrc に対応します。
• Karsan–Jirsa 型を用いる場合の骨格・引張の既定は次のとおりです: Fc によらず NewRC 骨格（終局ひずみ \( \varepsilon_{cu} = 0.01 \)、 超過は \( \varepsilon_{cu} \) の曲線値を残留として保持）を用います。\( f_c > 60 \) は NewRC の適用範囲外への外挿です。引張は \( f_t = 2.0 \) N/mm²、 軟化勾配 \( E_{ts} = E_0/10 \)（\( E_0 \) は初期接線剛性）です。
• Menegotto–Pinto の既定パラメータは \( b = 0.01,\ R_0 = 20,\ a_1 = 18.5,\ a_2 = 0.15,\ a_3 = 0 \)（等方硬化なし）\( ,\ a_4 = 1 \) です（Menegotto–Pinto 鋼材・鉄筋モデル）。
• 材料強度の割増は保有水平耐力計算（材料強度基準）でのみ適用し、鋼材文脈・RC 主筋文脈それぞれの材料グレード別割増係数を強度に乗じます。時刻歴応答解析等は割増なし（1.0）です。

ファイバー分割の既定

• 断面形状がある場合: 目標ファイバ寸法 = 断面最大寸法 / 16（絶対寸法の下限なし）。円形・円環断面は周方向 24 分割、径方向は薄肉 2 分割・中実 8 分割。
• 断面形状がない場合（壁エレメントの壁柱以外の矩形近似）: 幅 12 × せい 20 の中実格子。
• せん断変形は Timoshenko 適合内挿（φ 依存の曲率形状関数＋一定せん断ひずみ場による変位法内挿。interdependent interpolation 系の定式化）で曲げと直列に合成します。せん断変形係数

\[ \varphi = \frac{12EI}{GA_s L^2} \]

は公称断面諸元（Section の \( I \)・\( A_s \) と Material の \( E \)・\( G \)）から算定して凍結するため、降伏後も内挿は弾性時の配分を保ちます（曲げの Hermite 内挿と同型の近似）。公称値を用いるのは線形解析（ティモシェンコ梁要素（12×12）の弾性 Timoshenko 梁）の φ と一致させるためであり、RC 断面ではファイバーの実効初期剛性が公称値と僅かに乖離するため、φ は公称値ベースの近似となります。

• 曲率場は回転項を \( (1 \pm 3\xi) \to (1 \pm 3\xi + \varphi) \)、全体を \( 1/(1+\varphi) \) 倍に補正します。せん断ひずみは曲げ面ごとに要素内一定の

\[ \gamma_y = \frac{\varphi_y}{2(1+\varphi_y)} \left( \theta_{z,i} + \theta_{z,j} - \frac{2\,\Delta u_y}{L} \right), \qquad \gamma_z = \frac{\varphi_z}{2(1+\varphi_z)} \left( \theta_{y,i} + \theta_{y,j} + \frac{2\,\Delta u_z}{L} \right) \]

（\( \Delta u \) = 端部並進差。符号は各曲げ面の曲率規約に従い面ごとに異なる点に注意してください。いずれも剛体回転で恒等的にゼロとなる客観的な測度）とし、弾性せん断剛性 \( GA_s \) を作用させます。曲率剛性とせん断剛性の和は、断面剛性が φ の算定基礎と一致する一様弾性断面で、弾性 Timoshenko 梁（ティモシェンコ梁要素（12×12））の剛性と厳密に一致します（被積分関数は \( \xi \) の 2 次のため 2 点ガウスで厳密です）。

• \( GA_s \le 0 \)（せん断有効断面積が未設定等）の場合は \( \varphi = 0 \)（せん断剛直 = Euler-Bernoulli）へフォールバックするため、幾何剛性・整合質量は Euler 系の係数を用います（ティモシェンコ梁要素（12×12）の弾性梁と同じ扱いです）。 弾性諸元に採用する G にはせん断弾性係数の入力条件を適用します。上記のフォールバックは、不正な G を入力して計算を継続できることを意味しません。

• ファイバー梁・MultiSpring の集中質量と整合質量は、弾性梁と同じ幾何形状・採用密度から求める単位長さ質量と断面回転慣性を用います。ファイバー未生成でも質量特性は求められ、分割数・Gauss点・履歴・現在接線で物理質量は変わりません。初期弾性剛性を使う端部解放の質量変換は維持します。質量要求時の不正入力は両形式で拒否します。

• 軸方向と曲げ面の質量は Timoshenko 形状関数から積分し、材軸まわりの回転自由度には質量用極二次モーメント \( \mu I_p = \mu I_y + \mu I_z \) を与えます。ねじり剛性のねじり定数 J は質量用回転慣性へ流用しません。

• 剛域がある場合は、可撓部の質量を剛体アームで節点自由度へ変換し、剛域の分布質量を加えて全長の質量を保存します。集中質量を並進自由度へ分配する扱いは弾性梁と同じです。

• 端部解放を含む整合質量は、塑性状態ではなく初期弾性剛性から固定した変換を用います。保持自由度を \( u \)、内部回転を \( b \)、可撓部変位を \( u_f=A u+B b \) とすると、初期釣合いから \( S=-K_{bb}^{-1}K_{ba} \)、\( T=A+BS \) とし、\( M=T^T M_f T \) により可撓部質量 \( M_f \) を節点自由度へ写します。剛域がある場合は、この接続変換の後に剛体アーム変換と剛域の分布質量を一度だけ適用します。回転ばねは無質量です。この初期Guyan写像は動的な内部自由度を独立に求解する定式化ではありません。内部剛性が特異な場合や、慣性を持つ共通ねじり回転を静的に固定しなければならない場合は、解放条件を満たす整合質量を構成できないため理由付きで停止します。集中質量と、要素質量を使わない質点のみ方式には、それぞれ実際に使う質量方式の条件を適用します。

マルチスプリング（MS）モデル

部材端の塑性化領域（長さ \( L_p \)、既定は断面せいの 0.5 倍）の断面を、少数の軸方向ばね群で表し、その塑性増分を全可撓長の弾性梁へ直列に組み合わせます（RC 柱・梁端部の塑性ヒンジを軸ばね群で表す MS モデル）。軸ばね群の合力が \( N \)、図心まわりの偶力が \( M \) となるため、N–M 相関を自然に表現できます。ねじりばねは別系統で付加します。

算定式

• 端部断面のばね配置は幅方向 × せい方向 = 2 × 5 = 10 本の 2 次元配置とし、二軸曲げに対応します。
• ファイバーモデルと同じ軸・二軸曲げの塑性増分定式化を用い、端部断面を粗く分割します（ばね = 粗いファイバー）。軸降伏・除荷再載荷・残留伸縮と N–M 連成を材料履歴から評価し、初期弾性分の控除・仕事の関係・履歴の確定と巻戻しも同じです。
• 分割が粗いため、断面内の応力分布・降伏進展の精度は分割の影響を受けます。ファイバー要素との相互比較だけでは、材料・部材の物理的妥当性を保証しません。
• せん断変形は ファイバーモデルの Timoshenko 適合内挿と同一です。

モデルの自動選択（ForceRegime）

ElementKind::Beam の要素は、部材の ForceRegime に基づいて非線形要素種別を選択します。

耐震壁の上下辺にある壁上下の剛梁は、連続した壁板を表す弾性高剛性部材です。この役割では以下の非線形モデル選択にかかわらず、剛性100倍の弾性梁として扱い、梁自身の材料降伏を評価しません。壁側柱の材料履歴は保持します。

選択規則

• ForceRegime::UniaxialBendingShear → 材端集中ばね
• ForceRegime::AxialBendingInteract → ファイバー
• ForceRegime::Auto → トポロジから判定します（ヒューリスティック）。剛床に所属する水平材（軸力変動が小）→ 材端集中、それ以外（柱などの鉛直材）→ ファイバー。鉛直材判定は部材軸単位ベクトルの \( |e_z| > 0.707 \)（水平から 45° 超。線形静解析の柱判定・偏心率算定と共通の規約）によります。

MS モデルはこの自動選択には乗らず、要素種別 ElementKind::MultiSpring を明示指定した場合にのみ用います。

線形弾性解析は常に弾性 BeamElement を用い、非線形解析でのみ上記の非線形要素を構築します。両者を分けるのは、Auto 判定が剛床に乗らない梁もファイバーへ振り分けるため、共通化すると線形解析の弾性梁まで非線形要素へ置き換わってしまうためです。

非線形梁要素の剛域

ファイバーモデル・MS モデル（いずれも実体は FiberBeam）も、弾性梁（剛域）と同じ剛体アームで剛域を扱います。断面積分・せん断・幾何剛性を、仕口パネル要素の剛域長への反映で定義する可撓長 \( L' \) で組み立て、可撓端自由度を \( T_r \) で節点自由度へ写します。

\[ \boldsymbol{u}_{\text{flex}} = T_r\, \boldsymbol{u}_{\text{node}}, \qquad K_{\text{node}} = T_r^{T}\, K_{\text{flex}}\, T_r, \qquad \boldsymbol{f}_{\text{node}} = T_r^{T}\, \boldsymbol{f}_{\text{flex}} \]

\( T_r \) の成分と剛域・剛体アーム長の解決規則は 剛域 と同一です。

算定式

• ひずみ－変位行列 \( B(\xi) \)・せん断変形係数 \( \varphi \)・一定せん断ひずみ場・弾性梁 \( K_{el} \) の積分は、いずれも \( L' \) を基準長とします。
• 端部のファイバー断面（\( \xi = \mp 1 \)、塑性増分ヒンジを担う断面）は可撓部の材端、すなわち剛域フェイスに位置します。塑性化域 \( L_p \) も剛域フェイスから材内側へ測り、\( L' \) の 45% までにクランプします（ファイバーモデル）。塑性ヒンジは節点位置ではなく部材フェイスに形成されます。
• 断面ひずみは節点変位ではなく可撓端変位 \( \boldsymbol{u}_{\text{flex}} \) から評価します。剛体回転（節点回転＝弦回転）では可撓端に相対たわみが生じないため、内力はゼロになります（客観性）。
• ねじりは断面積分と連成しない独立項であり、剛体アーム変換がねじり自由度に作用しないため、弾性梁と同じく節点間長基準 \( GJ/L \) とします（剛域では増大させません）。

軸方向の扱い

通常の非線形解析で用いるファイバー・MS の塑性化域モデルは、弾性梁（剛域）と同じく、剛域を曲げ（せん断を含む）のみに効かせます。弾性梁 \( K_{el} \) の軸剛性は \( EA/L \)（節点間長基準）とし、剛域によって増大させません。初期弾性剛性は軸成分を含めて弾性ティモシェンコ梁と一致します。

この基準長の扱いは弾性梁の軸剛性に適用し、ファイバーの実断面積・材料・初期完全断面剛性 \( D_{0,e} \) は変更しません。端部の追加変形は引き続き \( \boldsymbol p_e=L_p(\boldsymbol\eta_e-C_{0,e}\boldsymbol q_e) \) から求め、断面力 \( (N,M_y,M_z) \) と部材内力の釣合いを同時に解きます。軸降伏・除荷再載荷・残留伸縮を材料履歴から評価する扱いと、初期弾性相当分を控除する仕事の関係も保持します。塑性化域長・曲げとせん断の基準長・物理質量・設計用重量は、この軸剛性の扱いによって変更しません。

一方、塑性化域を設けない全長ファイバー積分モデルは、通常の非線形解析の要素生成とは別のモデルです。こちらは可撓長にわたる断面積分から軸応答を得るため、一様弾性断面の軸剛性は \( EA/L' \) となります。上記の塑性化域モデルの節点間長基準とは区別します。

非線形梁要素の材端条件（ピン・半剛）

ファイバーモデル・MS モデルも、弾性梁（端部条件（剛接・ピン・半剛）の反映）と同じ定式化で材端の回転解放を扱います。剛接端は接続部の相対回転をゼロとします。ピン・半剛の端のみ、要素端回転を内部自由度へ分離し、節点回転との間に回転ばね \( k_s \) を挟んで静縮約します。

• ピン: \( k_s = 0 \)（厳密なモーメント解放）
• 半剛: \( k_s = k_\theta \)（接合部の回転剛性 [N·mm/rad]）

RC・SRC置換壁の側柱では、元の端部条件と壁面法線まわりの回転解放を同じ接続で扱います。解放方向を追加しても軸・面外応答の材料履歴は保持し、材料の断面軸は変えません。集中ばね指定との連成と非線形時刻歴の接続は未成立のため、ファイバーへの暗黙置換を行わず理由付き適用外とします。

算定式

• 縮約は可撓長で組んだ要素剛性に対して行います。組立順は「可撓長で要素剛性 → 材端解放の静縮約 → 剛体アーム変換 → 全体座標変換」で、弾性梁（局所自由度と組み立ての全体像）と同一です。縮約は \( K^{*} = K_{aa} - K_{ab} K_{bb}^{-1} K_{ba} \) により節点自由度 12 へ戻します。
• 内部自由度 \( \boldsymbol{u}_b \)（解放した要素端回転）は状態として保持し、各ステップで内部釣合い

\[ R_k = f_{\text{elem}}[d_k] + k_{s,k}\,\bigl(u_{b,k} - u_{\text{flex}}[d_k]\bigr) = 0 \]

を満たすよう要素内 Newton 反復で解きます（\( d_k \) は解放した回転自由度の番号、\( \boldsymbol{f}_{\text{elem}} \) は要素内力）。弾性域では線形のため 1 反復で厳密に収束します。部材荷重がない場合、断面が降伏した後も内部釣合いを解き直してピン端のモーメントを零に保ちます。

• 解放端の節点回転が受け持つのは回転ばねのモーメントのみであり、部材荷重がないピン端では 0 になります。軸方向の力・変形と断面材料の履歴は保持します。
• ねじり剛性を持たない部材（\( J \le 0 \)）の rx は、解放しても縮約行列 \( K_{bb} \) の対角がゼロになり特異化するだけでモーメント解放としての意味を持たないため、解放しません。
• 線材（梁・柱）の i 端のねじれは、端条件が剛接でも既定で解放します（ねじり剛性を期待しないモデル化。適用判定・例外は 部材のねじり剛性の既定モデル化（i 端ねじれ解放） と同一で、弾性梁と非線形梁で同じ規則です）。

非線形解析での部材内力

弾塑性要素の断面内力は、部材端の復元力を材軸方向へ釣合いで分配して求めます（線形解析の内力回収 線形静解析 と同じ分配式）。復元力は、接線剛性 × 全変位では降伏後の内力が実際より小さく評価されるため、接線剛性と全変位の積ではなく各積分点の断面応答（ファイバーの履歴状態）から算定した値を用います。

評価断面（危険断面）は線形解析と同じ規則（節点芯・部材中央・柱フェース位置、および部材付帯情報の追加位置。6.2.3）で与え、線形解析と同じ断面で応力を比較できるようにします。

適用範囲：ファイバー・MS・材端集中ばね（sepika_element::frame::concentrated）・弾性材・トラス（軸材）に適用します。