一軸材料構成則（ファイバー断面用）

このソフトは一軸材料を UniaxialMaterial トレイト（trial/commit/revert）として実装し、ファイバー断面積分と集中ばねに用います。 塑性率算定の基点には reference_stress（鋼・鉄筋は降伏強度、コンクリートはシリンダー強度）と reference_strain を用います。降伏強度に 1e18 以上を与えた実質弾性ダミーは塑性率評価の対象外とします。

記号・単位

バイリニア鋼材（線形移動硬化）

このモデルは、弾塑性力学の線形移動硬化（kinematic hardening）に基づきますが、コード上に規準名を明示するコメントはありません。

算定式

硬化率の適用範囲は0以上1未満です。1以上、負値、非有限値は受け付けません。

塑性係数（降伏後接線が \( d\sigma/d\varepsilon = \text{hardening} \cdot E \) となるよう定義します）:

\[ H_p = \text{hardening} \cdot E/(1 - \text{hardening}) \]

弾性予測、背応力、降伏関数:

\[ \sigma_{tr} = E \cdot (\varepsilon - \varepsilon_p) \]

\[ \alpha = H_p \cdot \varepsilon_p \]

\[ f = |\sigma_{tr} - \alpha| - f_y \]

\( f \le 0 \) のときは弾性（接線 E）とし、\( f > 0 \) のときは戻し写像により塑性ひずみと応力を更新します。

\[ \Delta\varepsilon_p = f/(E + H_p) \]

\[ \sigma = E \cdot (\varepsilon - \varepsilon_{p,\text{new}}) \]

更新後の接線は \( E \cdot H_p/(E + H_p) \) です。

降伏面上では、外向き載荷の勾配は降伏後接線、内向き除荷の勾配は初期弾性係数となり、載荷方向なしに接線は一意に定まりません。 確定した変形をそのまま再評価しても、確定時の接線や次の載荷方向の接線を保証しません。 降伏関数が0に近い場合、丸めによって弾性・塑性の判定が切り替わり得ます。応力・塑性履歴の丸め程度の差とは区別が必要です。 物性を更新した場合は、同じ変形でも更新後の物性と確定塑性履歴に基づいて応力を再評価します。

瞬間剛性比例減衰を明示的に選択した場合、材端集中ばねの接線を減衰にも用います。同じ変形の再評価で接線が変わる場合には減衰力も変わり得るため、 確定時接線の保持や載荷方向による接線選択が行われるとの前提で応答を解釈できません。 この条件での減衰力・応答の安全側／危険側は一律に定まらず、一般の応答精度は未確認です。 既定の初期剛性比例減衰は未載荷の剛性を固定して用います（減衰）。

Menegotto–Pinto 鋼材・鉄筋モデル

このモデルは、バウシンガー効果を滑らかに表現する Menegotto & Pinto (1973) の2漸近線を 結ぶ遷移曲線を基本式とし、反転時の漸近線交点の更新則・曲率パラメータの劣化則・ 等方硬化則には Filippou, Popov & Bertero (1983, EERC 83-19) の履歴則を用います。ファイバー断面の鋼材・主筋の既定材料です。 ファイバー断面は降伏進展を追うことが目的のため、鋼材・主筋の降伏点が未設定のモデルは 非線形解析の入力チェックがエラーで停止します（弾性で代替しません）。

遷移曲線（正規化形）

正規化ひずみ \( \varepsilon^\ast = (\varepsilon - \varepsilon_r)/(\varepsilon_0 - \varepsilon_r) \) （\( (\varepsilon_r,\sigma_r) \) は直前の反転点、\( (\varepsilon_0,\sigma_0) \) は現在の 分枝の漸近線交点）に対し:

\[ \sigma^\ast = b \cdot \varepsilon^\ast + (1 - b) \cdot \varepsilon^\ast/(1 + |\varepsilon^\ast|^R)^{1/R} \]

\[ \sigma = \sigma_r + (\sigma_0 - \sigma_r) \cdot \sigma^\ast \]

ゼロ応力近傍と大ひずみでの数値評価

反転後のゼロ応力近傍では、反転点応力と遷移曲線の応力が相殺します。 ここでは同じ構成式を直線部と遷移差に分け、微小な遷移差を保持して評価します。 \( d=\varepsilon_0-\varepsilon_r \)、\( g=(\sigma_0-\sigma_r)/d \)、 \( x=(\varepsilon-\varepsilon_r)/d \)、\( h=(1+|x|^R)^{-1/R}-1 \) とすれば、元式は

\[ \sigma=g\varepsilon+(\sigma_r-g\varepsilon_r)+(1-b)g(\varepsilon-\varepsilon_r)h \]

と同値です。大きい \( |x| \) では差の形による再相殺とべき乗のオーバーフローを避け、 遷移成分を \( \operatorname{sgn}(x)(1+|x|^{-R})^{-1/R} \) として評価します。 反転点の更新・履歴・パラメータ・応力曲線・接線の数学的定義は同じです。 微小な応力やひずみをゼロへ丸めたり、材料の釣合い許容誤差を緩めたりする扱いではありません。

漸近線交点の更新（Filippou 1983 の反転則）

反転が生じるたびに、反転点 \( (\varepsilon_r,\sigma_r) \)（直前のコミット点のひずみ・応力）を 通る勾配 \( E \) の弾性直線と、載荷方向側の降伏漸近線（勾配 \( b \cdot E \)、等方硬化で シフト）との交点を新しい \( (\varepsilon_0,\sigma_0) \) とします。引張方向へ載荷を 開始する場合:

\[ \varepsilon_0 = \frac{f_y \cdot \mathrm{shft} - bE \cdot \varepsilon_y \cdot \mathrm{shft} - \sigma_r + E \cdot \varepsilon_r}{E - bE} \]

\[ \sigma_0 = f_y \cdot \mathrm{shft} + bE \cdot (\varepsilon_0 - \varepsilon_y \cdot \mathrm{shft}) \]

（\( \varepsilon_y = f_y/E \)。圧縮方向は符号を反転した対称の式です。）

曲率パラメータ R の劣化則

\[ \xi = |\varepsilon_{pl} - \varepsilon_0|/\varepsilon_y \]

（\( \varepsilon_{pl} \) は載荷方向側の履歴極値ひずみ：引張方向への分枝では経験最大ひずみ \( \varepsilon_{max} \)、圧縮方向への分枝では経験最小ひずみ \( \varepsilon_{min} \)）

\[ R = \max(R_0 - a_1 \cdot \xi/(a_2 + \xi),\ 1) \]

等方硬化則

降伏漸近線を以下の shft 倍にシフトします。

\[ \mathrm{shft} = 1 + a_3 \cdot \left(\frac{\varepsilon_{max} - \varepsilon_{min}}{2 \cdot a_4 \cdot \varepsilon_y}\right)^{0.8} \]

\( a_3 = 0 \) のとき等方硬化は無効です（既定）。

既定パラメータ: \( b = 0.01,\ R_0 = 20,\ a_1 = 18.5,\ a_2 = 0.15 \)（Filippou 1983 の 推奨値）、\( a_3 = 0,\ a_4 = 1 \)（等方硬化なし）。

コンクリート一軸履歴モデル

このモデルは、圧縮を放物線上昇からピーク、線形軟化、残留へと進め、引張を弾性からひび割れ、指数減衰（テンションスティフニング）へと進めます。

算定式

初期接線:

\[ E_0 = 2 \cdot f_c/|\varepsilon_{c0}| \]

圧縮上昇（\( \varepsilon \ge \varepsilon_{c0} \)、\( r = \varepsilon/\varepsilon_{c0} \)）:

\[ \sigma = -f_c \cdot (2r - r^2) \]

圧縮軟化（\( \varepsilon_{c0} > \varepsilon \ge \varepsilon_{cu} \)）:

\[ \sigma = -f_c + \text{slope} \cdot (\varepsilon - \varepsilon_{c0}) \]

\[ \text{slope} = f_c \cdot (1 - \text{残留比})/(\varepsilon_{cu} - \varepsilon_{c0}) \]

引張（\( \varepsilon > \varepsilon_{cr} = f_t/E_0 \)、β = テンションスティフニング係数）:

\[ \sigma = f_t \cdot \exp(-\beta \cdot (\varepsilon/\varepsilon_{cr} - 1)) \]

除荷・再載荷は最大経験ひずみへの原点指向割線とします。

既定値は \( \varepsilon_{c0} = -0.002 \), \( \varepsilon_{cu} = -0.0035 \), テンションスティフニング係数 0.5, 残留比 0.0 とします。 これらの既定値の規準原典との照合は未確認です。

NewRC コンクリート構成則（ファイバー柱の既定）

この構成則は、建設省総合技術開発プロジェクト「New RC」（鉄筋コンクリート造建築物の超軽量・超高層化技術開発）で提案されたコンクリートの応力–ひずみ曲線の有理式モデル（NewRC 式）に基づきます。 原典上の適用範囲は \( F_c \le 60 \) です。現行仕様では、\( F_c > 60 \) についても本式を変更せず外挿して使用します。高強度コンクリート用の別構成則は未採用です。

算定式（工学単位系 kgf/cm² で導出します。実装は \( \sigma_B = F_c[\text{N/mm}^2] \times (1/0.0980665) \) で換算します）

応力–ひずみ関係（\( X = \varepsilon_c/\varepsilon_{c0} \)）:

\[ \sigma_c/\sigma_{cB} = \frac{A \cdot X + (D-1) \cdot X^2}{1 + (A-2) \cdot X + D \cdot X^2} \]

ひずみ、ヤング係数（\( k = 1.0 \)）:

\[ \varepsilon_{c0} = 0.5243 \cdot \sigma_B^{1/4} \times 10^{-3} \]

\[ E_c = 4k \cdot (\sigma_B/1000)^{1/3} \times 10^5 \cdot (\gamma/2.4)^2 \]

係数（コンファインド効果なし）:

\[ A = E_c \cdot \varepsilon_{c0}/\sigma_{cB} \]

\[ D = 1.50 + 1.68 \times 10^{-3} \cdot \sigma_B \]

\[ \sigma_{cB} = \sigma_B \]

引張は Ec 弾性とし、ひび割れ（\( \varepsilon_{cr} = f_t/E_c \)）後は応力を保持しない脆性型とします。

ファイバー材料の除荷則は部材ごとに増分解析用・時刻歴応答解析用を指定できます。自動（未指定）の既定は、柱等のファイバー要素・MS 要素では増分解析=逆行型、時刻歴応答解析=Karsan–Jirsa 型、壁柱ファイバーでは増分解析=原点指向型、時刻歴応答解析=Karsan–Jirsa 型です。\( F_c > 60 \) でもこの対応と構成則を切り替えません。

圧縮包絡線の値は次のとおりです。

コンクリート繰返し履歴モデル（Karsan–Jirsa 除荷）

このモデルは、圧縮包絡線（修正 Kent–Park・NewRC コンクリート構成則（ファイバー柱の既定） から選択）に対して、除荷・再載荷を Karsan, I.D. & Jirsa, J.O. (1969) の残留塑性 ひずみ則で、引張のひび割れ開閉・剛性劣化を Yassin (1994) の規則で表現します。

圧縮包絡線

修正 Kent–Park（圧縮ひずみの大きさ \( x \ge 0 \)、\( r = x/\varepsilon_{c0} \)）:

\[ \sigma = -f_c \cdot (2r - r^2) \qquad (x \le \varepsilon_{c0}) \]

\[ \sigma = -f_c + \text{slope} \cdot (x - \varepsilon_{c0}), \quad \text{slope} = \frac{f_c - f_{cu}}{\varepsilon_{cu} - \varepsilon_{c0}} \qquad (\varepsilon_{c0} < x \le \varepsilon_{cu}) \]

\[ \sigma = -f_{cu} \qquad (x > \varepsilon_{cu}) \]

NewRC を選ぶ場合は NewRC コンクリート構成則（ファイバー柱の既定）の有理式包絡線を用い、 \( \varepsilon_{cu} \) 超過は \( \varepsilon_{cu} \) における曲線値を残留として保持します。

Karsan–Jirsa の残留塑性ひずみ

除荷点の圧縮ひずみの大きさを \( \varepsilon_{min} \)、\( \eta = |\varepsilon_{min}|/\varepsilon_{c0} \) として:

\[ \varepsilon_p/\varepsilon_{c0} = 0.145\,\eta^2 + 0.13\,\eta \qquad (\eta < 2) \]

\[ \varepsilon_p/\varepsilon_{c0} = 0.707\,(\eta - 2) + 0.834 \qquad (\eta \ge 2) \]

除荷・再載荷は、包絡線上の除荷点 \( (\varepsilon_{min}, \sigma(\varepsilon_{min})) \) と 残留塑性ひずみ点 \( (\varepsilon_p, 0) \) を結ぶ割線とします。

引張（ひび割れ閉鎖点シフト）

残留塑性ひずみ点 \( \varepsilon_p \) をひび割れ閉鎖点とし、そこを原点にシフトした相対 ひずみ \( \varepsilon' = \varepsilon - \varepsilon_p \ge 0 \) 上で、弾性（勾配 \( E_0 \)） からひび割れ（\( \varepsilon_{t0} = f_t/E_0 \)）を経て線形軟化（勾配 \( -E_{ts} \)）へ 進める骨格とします。

\[ \sigma = E_0 \cdot \varepsilon' \qquad (\varepsilon' \le \varepsilon_{t0}) \]

\[ \sigma = f_t - E_{ts} \cdot (\varepsilon' - \varepsilon_{t0}) \qquad (\varepsilon' > \varepsilon_{t0},\ \sigma > 0) \]

引張側の除荷・再載荷は、シフト原点 \( (\varepsilon_p, 0) \) と引張側の経験極値点を結ぶ 割線とし、経験極値が進むほど除荷剛性が低下します（剛性劣化）。