梁要素内部の変位・断面力の内挿

節点の解（変位）から、梁要素の**両端の間（要素内部）**の変位と断面力（内力）をどう評価するかを示します。 変位は Hermite 3 次多項式による内挿、断面力は断面の力の釣合い（切断法）と部材中間荷重の固定端内力の重ね合わせで求めます。

要素内部の変位（Hermite 3 次内挿）

節点変位は要素端の 6 自由度（並進・回転）として得られます。要素内部の変位場は、要素ローカル系（\( e_x \): i→j 材軸、\( e_y,\,e_z \): 断面主軸）で次のように内挿します。

• 軸方向（局所 \( x \)）：線形形状関数 \( (1-\xi,\ \xi) \)
• 曲げ 2 面（局所 \( y,\,z \)）：Hermite 3 次形状関数

曲げ面の内挿は、部材荷重の等価節点力（部材荷重（等価節点力・固定端内力））に用いる形状関数と同一であり、要素の定式化と整合します。

Hermite 3 次形状関数（\( \xi = s/L \)、i 端 \( \xi=0 \)・j 端 \( \xi=1 \)、\( L \) は節点間長）:

\[ N_1 = 1 - 3\xi^2 + 2\xi^3,\qquad N_2 = L\,(\xi - 2\xi^2 + \xi^3) \]

\[ N_3 = 3\xi^2 - 2\xi^3,\qquad N_4 = L\,(-\xi^2 + \xi^3) \]

要素内部の局所変位場（端部並進 \( u \)・回転 \( r \) から）:

\[ u_x(\xi) = (1-\xi)\,u_{x,i} + \xi\,u_{x,j} \]

\[ u_y(\xi) = N_1\,u_{y,i} + N_2\,r_{z,i} + N_3\,u_{y,j} + N_4\,r_{z,j} \]

\[ u_z(\xi) = N_1\,u_{z,i} - N_2\,r_{y,i} + N_3\,u_{z,j} - N_4\,r_{y,j} \]

局所 \( z \) 面では回転 \( r_y \) の向きの規約により回転項の符号が反転します（可撓部の raw 剛性（両端固定・12×12）の \( K_{xz} \) の符号規約、および 部材荷重（等価節点力・固定端内力）の等価節点力と一致）。

\( \xi=0,\,1 \) では \( N_2=N_4=0,\ N_1=1 \) または \( N_3=1 \) となり、要素端は節点変位に厳密に一致します。回転自由度が変位場の傾きを与えるため、両端の回転差に応じて要素内部が曲線状にたわみます。

**変形図（変形形状の可視化）**は、この Hermite 曲線に沿って要素を描きます。節点間を直線で結ぶと梁の曲げたわみが表れないため、要素内部を Hermite 3 次で内挿した折れ線として表示します。要素はせん断変形を含むティモシェンコ梁（ティモシェンコ梁要素（12×12））ですが、内部変位の内挿は Euler–Bernoulli の Hermite 曲線で近似します。

要素内部の断面力（平衡＋固定端内力の重ね合わせ）

要素内部の断面力分布は、形状関数による内挿ではなく、**断面の力の釣合い（切断法）**で求めます。

1. 端部節点力：局所剛性と局所変位から \( \boldsymbol{f} = K_{\text{local}}\,\boldsymbol{u} \) を求めます。
2. 任意断面への分布：端部の内力から自由体の釣合いで各断面 \( \xi \) の \( [N, Q_y, Q_z, M_x, M_y, M_z] \) を求めます。せん断が一定の区間ではモーメントは材軸方向に線形になります（例：\( M_z(x) = M_{z,i} + Q_y\,x \)）。
3. 部材中間荷重の重ね合わせ：部材にスパン荷重（分布・集中）がある場合は、両端固定梁の固定端内力（部材荷重（等価節点力・固定端内力）の fixed_internal_local）を各断面に重ね合わせます。これにより、剛性応答（等価節点力に対する \( K\boldsymbol{u} \)）とスパン内力の和として実内力が得られます。

\[ \text{実内力}(\xi) = \underbrace{\text{（}K\boldsymbol{u}\text{ 由来の内力）}}_{\text{端部からの平衡分布}} + \underbrace{\text{（両端固定梁のスパン内力）}}_{\text{固定端内力の重ね合わせ}} \]

この重ね合わせにより、等分布荷重を受ける梁では曲げモーメント \( M \) が放物線、せん断力 \( Q \) が線形の正しい分布になります（中間荷重がなければ手順 2 のとおりモーメントは線形）。荷重組合せでは、各項の部材荷重を組合せ係数で倍したうえで重ね合わせます。

断面力の符号規約は 線形静解析 を参照してください。断面力を評価する位置（危険断面）は、節点芯・柱フェース位置・部材中央に加え、指定があればハンチ端・継手位置を含みます。評価断面の間の分布を画面上でどう描くかは応力図（M 図）の曲線補間を参照してください。

応力図表示用の曲線補間

以下は、評価断面の間を M 図として表示するための補間です。表示用の処理であり、解析結果の断面力の算定や断面検定には用いません。

断面力は材軸に沿って次の関係を満たします。

\[ \frac{dM_z}{dx} = Q_y \]

正規化座標 \( \xi=x/L \) では、モーメントの勾配は次のとおりです。

\[ \frac{dM_z}{d\xi} = Q_y L \]

区間 \( [\xi_k,\ \xi_{k+1}] \) の両端のモーメントと勾配から、\(t=(\xi-\xi_k)/h\)、\(h=\xi_{k+1}-\xi_k\) として、3 次 Hermite 補間を行います。

\[ M(t) = H_{00}M_k + H_{10}\,h\,S_k + H_{01}M_{k+1} + H_{11}\,h\,S_{k+1} \]

\[ H_{00}=2t^3-3t^2+1,\quad H_{10}=t^3-2t^2+t,\quad H_{01}=-2t^3+3t^2,\quad H_{11}=t^3-t^2 \]

ここで \(S\) は \(dM_z/d\xi\) です。弱軸曲げ \(M_y\) は図として表示する値 \(-M_y\) に対して補間し、\(d(-M_y)/d\xi=Q_zL\) とします。N・Q・\(M_x\) は評価断面を直線で結びます。

区間内で M が 3 次以下の多項式になる場合、この補間は厳密解に一致します。したがって、無荷重時の直線、等分布荷重時の放物線、等変分布荷重時の 3 次曲線を正しく表示できます。

中間集中荷重が評価断面上にある場合、Q は不連続となり、M は折れ線になります。右側区間の左端勾配には、評価断面のせん断力から得た値ではなく、必要に応じて次の補正値を用います。

\[ S_k^{*} = 2\,\frac{M_{k+1}-M_k}{h} - S_{k+1} \]

補正により補間は 2 次へ縮退し、集中荷重による折れ線を正しく表示します。補間後も評価断面の値は変わらず、図は断面検定に用いた値を通ります。

この処理は M 図だけを対象とし、解析結果（節点変位・断面力）には影響しません。詳細な表示上の適用範囲と実装参照は応力図（M 図）の曲線補間を参照してください。