5.10 質点系解析
本節では、各階を質点に縮約したせん断型モデルの固有値と時刻歴を扱います。 立体 FEM の固有値・時刻歴とは独立した解析です。
立体のモードは部材の曲げや局部変形を含むため、質点系の次数と並べて読むことはできません。 周期だけを比較してください。 曲げをばねとして分離する変種は、自由度の置き方が立体とさらに食い違うため使いません。
実行は右バー「質点系」です。 表とグラフは結果タブ「質点系」、球とばねは 3D ビューアの「質点モード」「質点時刻歴」です。
前提
| 設定 | 必要な先行結果 |
|---|---|
| 2 次元・線形 | 加振方向の地震静的（EX または EY） |
| 3 次元・線形 | 地震静的 EX と EY の両方 |
| 2 次元・非線形 | 加振方向の増分解析 |
| 3 次元・非線形 | X・Y 両方の増分解析と、ねじり剛性のための EX・EY |
3 次元のねじりばね（KR）は、線形・非線形のいずれでも線形ばねです。 非線形の並進だけが増分解析のトリリニアを使い、ねじりは偏心率精算の KR のままにするためです。
既定値
| 項目 | 既定 | 範囲 |
|---|---|---|
| 次元 | 2 次元 | 2 次元 / 3 次元 |
| 非線形 | オフ（線形） | オン / オフ |
| 加振・解析方向 | X | X / Y |
| 層並進剛性の定義 | 層 Q/δ（EX/EY） | 層 Q/δ / 柱 ki。線形のときだけ使います |
| 固有値のモード数 | 3（立体固有値のモード数とは独立） | 画面は 1〜30。2 次元は層数、3 次元は 3×層数を超える指定は切り詰めます |
| 第 1 折点の割線剛性比 | 0.75（非線形時。増分解析の層 Q–δ をトリリニア縮約するとき） | 0.3〜0.95 |
| 時刻歴の減衰比 h | 0.02（初期剛性比例。立体時刻歴とは独立） | 0〜0.2 |
| サンプル波の dt | 0.01 s | 0.001〜0.1 s |
| サンプル波の継続時間 | 10 s | 0.1〜60 s |
| サンプル波の周期 | 0.5 s | 0.05〜5 s |
| サンプル波の振幅 | 1000 mm/s² | 1〜20000 mm/s² |
波形はサンプル波か波形ライブラリから選びます。
立体時刻歴にある「波形 CSV を開いて実行」は、質点系パネルにはありません。
プロジェクトファイル（.scz）には設定・固有値・時刻歴結果を同梱し、波形の実体はライブラリ参照です。
サンプル波は立体時刻歴と同じ式です。
\[ \ddot{x}_g(t) = A \sin(\omega t), e^{-0.3 t},\quad \omega = 2\pi / T \]
\( A \) は振幅、\( T \) は周期、\( dt \) は刻みです。
質量
各層の質量は上端階の地震用重量 \( W \) を重力加速度で割った値です（\( m = W/g \)）。 地震用重量が未算定のときは、その階の節点水平質量の合計を使います。
3 次元の回転慣性 \( J \) [t·mm²] は、上端階の剛床マスター節点の RZ 質量 \( J_0 \) を、並進質量が地震用重量と一致するよう回転半径を保って換算した値です。
\[ J = J_0 \cdot \frac{W/g}{m_0} \]
\( m_0 \) はマスターの水平質量です。 補正質点方式では \( m_0 \) が部材密度分を控除した残りなので、控除前の \( W/g \) に揃えます。 剛床がなく \( J \le 0 \) の階では 3 次元質点系を実行できません。
3 次元の質点の平面位置は質量重心です（偏心率精算と同じ重心）。 2 次元の 3D 表示では、剛床マスター（なければ原点）を代表点にします。
層並進剛性
層 Q/δ（既定、線形時）
地震静的 EX の層せん断 \( Q \) と層間変位 \( \delta \) から \( K_x = |Q|/|\delta| \)、EY から同様に \( K_y \) を算定します。 層せん断は当該層の柱せん断の合計です。 柱せん断はすでに当該層より上の水平力を含むので、層間で足し直しません。
2 次元の層間変位は、階の代表節点（剛床マスター、なければ質量最大の節点）の水平変位差です。 3 次元の層間変位は、その層の剛心の平面位置における剛床変位の上下差です。 3×3 の並進ばねは剛心位置のばねなので、\( \delta \) も剛心で取ります。 上下とも同じ平面位置で取るため、セットバックでマスターがずれても層間になります。
剛心座標とねじり剛性 KR [N·mm/rad] は、偏心率の精算と同じ柱剛性 \( k_i = Q_i/\delta_i \)（雑壁の寄与を含む）から算定します。
柱 ki（線形時）
\( K_x \)・\( K_y \)・剛心・KR をすべて柱の \( k_i \) 合計（偏心率精算と同じ）から定めます。
非線形時の並進骨格は、該当方向の増分解析の層 Q–δ を等包絡面積則でトリリニア縮約したものです（第 1 折点の割線比は上表。長期載荷点を原点とする補正は 5.5.3 と同じです）。 固有値と減衰に使う初期剛性も、この骨格の K1 です。 線形時の定義（層 Q/δ または柱 ki）は使いません。
2 次元（せん断串）
加振方向 1 本の質点列です。層間ばねはせん断型三重対角です。
算定式
固有値は
\[ K x = \omega^2 M x \]
（M は対角、K は三重対角）を標準固有値問題へ帰着して解きます。 モード形状は最上階を 1.0 に正規化します。 刺激係数と有効質量は算定しません。 立体固有値の参加係数は M 正規化に紐づく量で、質点系は縮約モデルの周期を見る解析だからです。
時刻歴は Newmark 平均加速度と Newton 反復、減衰は初期剛性比例 \( a_1 = 2h/\omega_1 \) です。 詳細は 5.5.3 です。
3 次元（Ux, Uy, θz）
各階の自由度は質量重心における並進 2 成分と鉛直軸まわり回転です。 剛心相対位置を \( r_x = X_s - X_g \)、\( r_y = Y_s - Y_g \) として、層の 3×3 剛性は次です。
算定式
\[ K = \begin{bmatrix} K_x & 0 & -K_x r_y \ 0 & K_y & K_y r_x \ -K_x r_y & K_y r_x & K_x r_y^2 + K_y r_x^2 + K_R \end{bmatrix} \]
\( K_x \)・\( K_y \) は線形なら静解析の層剛性、非線形なら増分骨格の初期剛性です。 階間は相対変位で直列につながります。 地動は加振方向（X または Y）の 1 方向です。
たとえば偏心のない 1 層では、並進の固有周期は \( T = 2\pi\sqrt{m/K} \)、ねじりの固有周期は \( T = 2\pi\sqrt{J/K_R} \) となり、上の 3×3 を対角化した結果と一致します。
非線形時、X・Y の並進ばねは各方向のトリリニア（最大点指向型）、ねじりは KR の線形ばねのままです。 3 次元のモード形状は各階 \( (U_x, U_y, \theta_z) \) で、頂部水平変位のノルムで正規化します。 刺激係数と有効質量は 2 次元と同じく算定しません。
時刻歴の方向別ピーク
時刻歴の層間・層せん断・塑性率は、X・Y・45°・最大の 4 欄で出します。 地動は X か Y の 1 方向でも、ねじりがあれば剛心位置の層間は平面内を動くためです。
層間は剛心位置の並進 \( (\delta_x,\ \delta_y) \) です。 層ばねの変形がここだからです。 層せん断は同じ位置のばね力 \( (Q_x,\ Q_y) \) です。 頂部変位のグラフは質量重心の加振方向成分です。 質点の自由度がそこだからです。
算定式
各時刻の値から、層ごとに時刻歴の最大絶対値を取ります。
| 欄 | 層間・層せん断 |
|---|---|
| X | \( |\delta_x| \)、\( |Q_x| \) |
| Y | \( |\delta_y| \)、\( |Q_y| \) |
| 45° | \( \max(|(\delta_x+\delta_y)/\sqrt{2}|,\ |(\delta_x-\delta_y)/\sqrt{2}|) \)（せん断も同じ） |
| 最大 | \( \sqrt{\delta_x^2+\delta_y^2} \)、\( \sqrt{Q_x^2+Q_y^2} \) |
45° は 45° と 135° の投影の大きい方です。 斜めの応答はどちらの対角にも出るためです。
塑性率は次です。 \( \delta_{1x} \)・\( \delta_{1y} \) は各方向骨格の第 1 折点変形です。
| 欄 | 塑性率 |
|---|---|
| X | \( \mu_X = \delta_X / \delta_{1x} \)（\( \delta_{1x} \le 0 \) は 0） |
| Y | \( \mu_Y = \delta_Y / \delta_{1y} \)（\( \delta_{1y} \le 0 \) は 0） |
| 45° | \( \mu_{45} = \delta_{45} / (\sqrt{2},\min(\delta_{1x},\delta_{1y})) \) |
| 最大 | \( \max(\mu_X,\ \mu_Y) \) |
45° の分母は、軸平行の降伏矩形 \( |\delta_x|=\delta_{1x} \)、\( |\delta_y|=\delta_{1y} \) に沿う斜め距離です。 最大の塑性率は並進ばねが経験した値の包絡です。 合成変位を \( \min(\delta_{1x},\delta_{1y}) \) で割ると、ばねが感じていない量になるため使いません。
2 次元では加振方向以外の並進は 0 です。 45° は加振方向成分の \( 1/\sqrt{2} \) になります。
3D 表示
3D ビューアの「質点モード」「質点時刻歴」で、各階の質点を球、階間ばねを線で描きます。 球の半径は質量に応じます。 「骨組を重ねる」をオフにすると、質点の基準位置は鉛直 1 列です。 質点モードでは変形前の串を破線と高い透過で重ねます。 表示倍率は立体の変形図と同じく、ピーク並進がモデル対角長の 10% になる自動倍率に手動係数を掛けます。 詳細は 質点系の 3D 表示 です。
実装：モデル生成は squid_n_job::lumped_mass、固有値・時刻歴は squid_n_solver::dynamic::lumped_mass です。
Newton 反復は最大 30 回、相対許容誤差は \( 10^{-6} \) です。