一軸材料構成則（ファイバー断面用）

このソフトは一軸材料を UniaxialMaterial トレイト（trial/commit/revert）として実装し、ファイバー断面積分と集中ばねに用います。 塑性率算定の基点には reference_stress（鋼・鉄筋は降伏強度、コンクリートはシリンダー強度）と reference_strain を用います。降伏強度に 1e18 以上を与えた実質弾性ダミーは塑性率評価の対象外とします。

記号・単位

バイリニア鋼材（線形移動硬化）

このモデルは、弾塑性力学の線形移動硬化（kinematic hardening）に基づきますが、コード上に規準名を明示するコメントはありません。

算定式

塑性係数（降伏後接線が \( d\sigma/d\varepsilon = \text{hardening} \cdot E \) となるよう定義します）:

\[ H_p = \text{hardening} \cdot E/(1 - \text{hardening}) \]

弾性予測、背応力、降伏関数:

\[ \sigma_{tr} = E \cdot (\varepsilon - \varepsilon_p) \]

\[ \alpha = H_p \cdot \varepsilon_p \]

\[ f = |\sigma_{tr} - \alpha| - f_y \]

\( f \le 0 \) のときは弾性（接線 E）とし、\( f > 0 \) のときは戻し写像により塑性ひずみと応力を更新します。

\[ \Delta\varepsilon_p = f/(E + H_p) \]

\[ \sigma = E \cdot (\varepsilon - \varepsilon_{p,\text{new}}) \]

更新後の接線は \( E \cdot H_p/(E + H_p) \) です。

Menegotto–Pinto 鋼材・鉄筋モデル

このモデルは、バウシンガー効果を滑らかに表現する Menegotto & Pinto (1973) の2漸近線を 結ぶ遷移曲線を基本式とし、反転時の漸近線交点の更新則・曲率パラメータの劣化則・ 等方硬化則には Filippou, Popov & Bertero (1983, EERC 83-19) の履歴則（OpenSees Steel02 と同一のアルゴリズム）を用います。ファイバー断面の鋼材・主筋の既定材料です。 ファイバー断面は降伏進展を追うことが目的のため、鋼材・主筋の降伏点が未設定のモデルは 非線形解析の入力チェックがエラーで停止します（弾性で代替しません）。

遷移曲線（正規化形）

正規化ひずみ \( \varepsilon^\ast = (\varepsilon - \varepsilon_r)/(\varepsilon_0 - \varepsilon_r) \) （\( (\varepsilon_r,\sigma_r) \) は直前の反転点、\( (\varepsilon_0,\sigma_0) \) は現在の 分枝の漸近線交点）に対し:

\[ \sigma^\ast = b \cdot \varepsilon^\ast + (1 - b) \cdot \varepsilon^\ast/(1 + |\varepsilon^\ast|^R)^{1/R} \]

\[ \sigma = \sigma_r + (\sigma_0 - \sigma_r) \cdot \sigma^\ast \]

漸近線交点の更新（Filippou 1983 の反転則）

反転が生じるたびに、反転点 \( (\varepsilon_r,\sigma_r) \)（直前のコミット点のひずみ・応力）を 通る勾配 \( E \) の弾性直線と、載荷方向側の降伏漸近線（勾配 \( b \cdot E \)、等方硬化で シフト）との交点を新しい \( (\varepsilon_0,\sigma_0) \) とします。引張方向へ載荷を 開始する場合:

\[ \varepsilon_0 = \frac{f_y \cdot \mathrm{shft} - bE \cdot \varepsilon_y \cdot \mathrm{shft} - \sigma_r + E \cdot \varepsilon_r}{E - bE} \]

\[ \sigma_0 = f_y \cdot \mathrm{shft} + bE \cdot (\varepsilon_0 - \varepsilon_y \cdot \mathrm{shft}) \]

（\( \varepsilon_y = f_y/E \)。圧縮方向は符号を反転した対称の式です。）

曲率パラメータ R の劣化則

\[ \xi = |\varepsilon_{pl} - \varepsilon_0|/\varepsilon_y \]

（\( \varepsilon_{pl} \) は載荷方向側の履歴極値ひずみ：引張方向への分枝では経験最大ひずみ \( \varepsilon_{max} \)、圧縮方向への分枝では経験最小ひずみ \( \varepsilon_{min} \)）

\[ R = \max(R_0 - a_1 \cdot \xi/(a_2 + \xi),\ 1) \]

等方硬化則

降伏漸近線を以下の shft 倍にシフトします。

\[ \mathrm{shft} = 1 + a_3 \cdot \left(\frac{\varepsilon_{max} - \varepsilon_{min}}{2 \cdot a_4 \cdot \varepsilon_y}\right)^{0.8} \]

\( a_3 = 0 \) のとき等方硬化は無効です（既定）。

既定パラメータ: \( b = 0.01,\ R_0 = 20,\ a_1 = 18.5,\ a_2 = 0.15 \)（Filippou 1983 の 推奨値）、\( a_3 = 0,\ a_4 = 1 \)（等方硬化なし）。

コンクリート一軸履歴モデル

このモデルは、圧縮を放物線上昇からピーク、線形軟化、残留へと進め、引張を弾性からひび割れ、指数減衰（テンションスティフニング）へと進めます。 係数は AIJ 系代表値であり、コードにコメントとして記載しています。

算定式

初期接線:

\[ E_0 = 2 \cdot f_c/|\varepsilon_{c0}| \]

圧縮上昇（\( \varepsilon \ge \varepsilon_{c0} \)、\( r = \varepsilon/\varepsilon_{c0} \)）:

\[ \sigma = -f_c \cdot (2r - r^2) \]

圧縮軟化（\( \varepsilon_{c0} > \varepsilon \ge \varepsilon_{cu} \)）:

\[ \sigma = -f_c + \text{slope} \cdot (\varepsilon - \varepsilon_{c0}) \]

\[ \text{slope} = f_c \cdot (1 - \text{残留比})/(\varepsilon_{cu} - \varepsilon_{c0}) \]

引張（\( \varepsilon > \varepsilon_{cr} = f_t/E_0 \)、β = テンションスティフニング係数）:

\[ \sigma = f_t \cdot \exp(-\beta \cdot (\varepsilon/\varepsilon_{cr} - 1)) \]

除荷・再載荷は最大経験ひずみへの原点指向割線とします。

NewRC コンクリート構成則（ファイバー柱の既定）

この構成則は、建設省総合技術開発プロジェクト「New RC」（鉄筋コンクリート造建築物の超軽量・超高層化技術開発）で提案されたコンクリートの応力–ひずみ曲線の有理式モデル（NewRC 式）に基づきます。 原典上の適用範囲は \( F_c \le 60 \) です。現行仕様では、\( F_c > 60 \) についても本式を変更せず外挿して使用します。高強度コンクリート用の別構成則は未採用です。

算定式（工学単位系 kgf/cm² で導出します。実装は \( \sigma_B = F_c[\text{N/mm}^2] \times (1/0.0980665) \) で換算します）

応力–ひずみ関係（\( X = \varepsilon_c/\varepsilon_{c0} \)）:

\[ \sigma_c/\sigma_{cB} = \frac{A \cdot X + (D-1) \cdot X^2}{1 + (A-2) \cdot X + D \cdot X^2} \]

ひずみ、ヤング係数（\( k = 1.0 \)）:

\[ \varepsilon_{c0} = 0.5243 \cdot \sigma_B^{1/4} \times 10^{-3} \]

\[ E_c = 4k \cdot (\sigma_B/1000)^{1/3} \times 10^5 \cdot (\gamma/2.4)^2 \]

係数（コンファインド効果なし）:

\[ A = E_c \cdot \varepsilon_{c0}/\sigma_{cB} \]

\[ D = 1.50 + 1.68 \times 10^{-3} \cdot \sigma_B \]

\[ \sigma_{cB} = \sigma_B \]

引張は Ec 弾性とし、ひび割れ（\( \varepsilon_{cr} = f_t/E_c \)）後は応力を保持しない脆性型とします。

ファイバー材料の除荷則は部材ごとに増分解析用・時刻歴応答解析用を指定できます。自動（未指定）の既定は、柱等のファイバー要素・MS 要素では増分解析=逆行型、時刻歴応答解析=Karsan–Jirsa 型、壁柱ファイバーでは増分解析=原点指向型、時刻歴応答解析=Karsan–Jirsa 型です。\( F_c > 60 \) でもこの対応と構成則を切り替えません。

圧縮包絡線の値は次のとおりです。

Mander 拘束コンクリート包絡線

このモデルは、横拘束筋（帯筋・スパイラル筋）による拘束効果を、拘束強度・拘束ひずみの 増分として評価する Mander, Priestley & Park (1988) の応力–ひずみモデルの包絡線 パラメータ算定式です。円形断面（フープ・スパイラル）と矩形断面（帯筋）のいずれにも 対応し、算定した強度・ひずみを Popovics 型の連続曲線へ渡します。

拘束強度比

有効拘束圧比 \( x = f'_l/f'_{co} \)（\( f'_l \) は有効拘束圧、\( f'_{co} \) は非拘束 圧縮強度。\( x < 0 \) は 0 とします）に対し、拘束強度比 \( k \) を:

\[ k = \frac{f'_{cc}}{f'_{co}} = -1.254 + 2.254\sqrt{1 + 7.94 x} - 2x \]

拘束後パラメータ

\[ f'_{cc} = f'_{co} \cdot k \]

\[ \varepsilon_{cc} = \varepsilon_{co}\left(1 + 5\left(k - 1\right)\right) \]

円形断面の有効拘束圧

フープ中心間径 \( d_s \)・ピッチ \( s \)（中心間）・純間隔 \( s' \)・フープ 1 本の 断面積 \( A_{sp} \)・降伏強度 \( f_{yh} \)・コア面積に対する主筋比 \( \rho_{cc} \) から:

\[ \rho_s = \frac{4 A_{sp}}{d_s\,s} \]

\[ k_e = \frac{\left(1 - s'/(2 d_s)\right)^2}{1-\rho_{cc}} \quad \text{（円形フープ）}, \qquad k_e = \frac{1 - s'/(2 d_s)}{1-\rho_{cc}} \quad \text{（スパイラル）} \]

\[ f'_{l,\mathrm{eff}} = k_e \cdot \frac12 \rho_s f_{yh} \]

矩形断面の有効拘束圧

コア寸法 \( b_c \)（x 方向）・\( d_c \)（y 方向）、x・y 方向の脚断面積合計 \( A_{sx}, A_{sy} \)、隣接主筋間の純間隔 \( w_i \)（全周）から:

\[ \rho_x = \frac{A_{sx}}{s\,d_c}, \qquad \rho_y = \frac{A_{sy}}{s\,b_c} \]

\[ k_e = \frac{\left(1 - \dfrac{\sum w_i^2}{6\,b_c\,d_c}\right)\left(1 - \dfrac{s'}{2 b_c}\right)\left(1 - \dfrac{s'}{2 d_c}\right)}{1-\rho_{cc}} \]

\[ f'_{lx,\mathrm{eff}} = k_e\,\rho_x\,f_{yh}, \qquad f'_{ly,\mathrm{eff}} = k_e\,\rho_y\,f_{yh} \]

代表拘束圧は算術平均 \( (f'_{lx,\mathrm{eff}} + f'_{ly,\mathrm{eff}})/2 \) とします （Mander (1988) 本来の 2 軸拘束強度チャートを用いる代わりの簡易化です）。

Popovics 型応力–ひずみ曲線

\[ \sigma = f'_{cc} \cdot \frac{x\,r}{r - 1 + x^r}, \qquad x = \varepsilon/\varepsilon_{cc}, \qquad r = \frac{E_c}{E_c - E_{sec}}, \qquad E_{sec} = f'_{cc}/\varepsilon_{cc} \]

終局圧縮ひずみ（Priestley, Seible & Calvi (1996) のエネルギー近似式）

\[ \varepsilon_{cu} = 0.004 + 1.4\,\rho_s\,f_{yh}\,\varepsilon_{su}/f'_{cc} \]

（\( \rho_s \) は横拘束筋の体積比、\( \varepsilon_{su} \) は横拘束筋の破断ひずみ。）

コンクリート繰返し履歴モデル（Karsan–Jirsa 除荷）

このモデルは、圧縮包絡線（修正 Kent–Park・NewRC コンクリート構成則（ファイバー柱の既定）・Mander 拘束コンクリート包絡線 から選択）に対して、除荷・再載荷を Karsan, I.D. & Jirsa, J.O. (1969) の残留塑性 ひずみ則で、引張のひび割れ開閉・剛性劣化を Yassin (1994) の規則 （OpenSees Concrete02 系のアルゴリズム）で表現します。

圧縮包絡線

修正 Kent–Park（圧縮ひずみの大きさ \( x \ge 0 \)、\( r = x/\varepsilon_{c0} \)）:

\[ \sigma = -f_c \cdot (2r - r^2) \qquad (x \le \varepsilon_{c0}) \]

\[ \sigma = -f_c + \text{slope} \cdot (x - \varepsilon_{c0}), \quad \text{slope} = \frac{f_c - f_{cu}}{\varepsilon_{cu} - \varepsilon_{c0}} \qquad (\varepsilon_{c0} < x \le \varepsilon_{cu}) \]

\[ \sigma = -f_{cu} \qquad (x > \varepsilon_{cu}) \]

NewRC を選ぶ場合は NewRC コンクリート構成則（ファイバー柱の既定）の有理式包絡線を、Mander を選ぶ場合は Mander 拘束コンクリート包絡線の Popovics 曲線をそのまま用い、いずれも \( \varepsilon_{cu} \) 超過は \( \varepsilon_{cu} \) における曲線値を残留として保持します。

Karsan–Jirsa の残留塑性ひずみ

除荷点の圧縮ひずみの大きさを \( \varepsilon_{min} \)、\( \eta = |\varepsilon_{min}|/\varepsilon_{c0} \) として:

\[ \varepsilon_p/\varepsilon_{c0} = 0.145\,\eta^2 + 0.13\,\eta \qquad (\eta < 2) \]

\[ \varepsilon_p/\varepsilon_{c0} = 0.707\,(\eta - 2) + 0.834 \qquad (\eta \ge 2) \]

除荷・再載荷は、包絡線上の除荷点 \( (\varepsilon_{min}, \sigma(\varepsilon_{min})) \) と 残留塑性ひずみ点 \( (\varepsilon_p, 0) \) を結ぶ割線とします。

引張（ひび割れ閉鎖点シフト）

残留塑性ひずみ点 \( \varepsilon_p \) をひび割れ閉鎖点とし、そこを原点にシフトした相対 ひずみ \( \varepsilon' = \varepsilon - \varepsilon_p \ge 0 \) 上で、弾性（勾配 \( E_0 \)） からひび割れ（\( \varepsilon_{t0} = f_t/E_0 \)）を経て線形軟化（勾配 \( -E_{ts} \)）へ 進める骨格とします。

\[ \sigma = E_0 \cdot \varepsilon' \qquad (\varepsilon' \le \varepsilon_{t0}) \]

\[ \sigma = f_t - E_{ts} \cdot (\varepsilon' - \varepsilon_{t0}) \qquad (\varepsilon' > \varepsilon_{t0},\ \sigma > 0) \]

引張側の除荷・再載荷は、シフト原点 \( (\varepsilon_p, 0) \) と引張側の経験極値点を結ぶ 割線とし、経験極値が進むほど除荷剛性が低下します（剛性劣化）。